ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ ಎಂದರೇನು? - ಪ್ರೊ. ಎಚ್. ಎಲ್. ಎಸ್. ರಾವ್

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ ಎಂದರೇನು?

- ಪ್ರೊ. ಎಚ್. ಎಲ್. ಎಸ್. ರಾವ್

    ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ ಎಂದರೇನು? - ಈ ಪ್ರಶ್ನೆ ಪ್ಲೇಟೋ ಕಾಲದಿಂದಲೂ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಾದಿಯಾಗಿ ಅನೇಕ ತತ್ವಜ್ಞಾನಿಗಳು ಮತ್ತು ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳೆಲ್ಲರ ತಲೆ ಕೆಡಿಸಿದೆ. ಈವರೆಗೂ ಸರಿಯಾಗಿ ಉತ್ತರ ಸಿಕ್ಕಿಲ್ಲ. 2000 ವರ್ಷಗಳಿಂದ ಅನೇಕ ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ನೀಡಿದ್ದಾರೆ. ಯಾವುದೂ ಕಾಲಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ವಿಮರ್ಶೆಯಲ್ಲಿ  ಸ್ಥಿರಪಟ್ಟಿಲ್ಲ. ಕ್ರಿಸ್ತ ಪೂರ್ವ 550 ರ ಸುಮಾರಿಗೆ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡ ಪೈಥಾಗೊರಸನ ಪಂಥದ ಕಾಲದಿಂದಲೂ ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಚರ್ಚೆ ನಡೆಯುತ್ತಲೇ ಇದೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸ್ವರೂಪವೇ ಒಂದು ಗೂಢ ಹಾಗೂ ವಿಸ್ತ್ರೃತ.

      ಒಂದು ಕಥೆ ನೆನಪಾಗುತ್ತೆ. ಹಲವಾರು ಕುರುಡರು ಒಂದು ಆನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಿದ ಕಥೆ. ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಆನೆಯನ್ನು ಮುಟ್ಟಿ ತಾವು ಮುಟ್ಟಿದ ಆನೆಯ ದೇಹದ ಭಾಗವಷ್ಟೇ ಆನೆಯೆಂದು ವಿವರಿಸಿದ ಕಥೆಯದು. ಅಂತೆಯೇ ಗಣಿತವೂ ಕೂಡ. ಅವರವರ ಅನುಭವಕ್ಕೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಿತ್ತಿದ್ದಾರೆ. ಯಾವುದೂ ಸುಳ್ಳಲ್ಲ, ಆದರೆ ಎಲ್ಲವೂ ಅಪೂರ್ಣ.

      ಪ್ರಾಯಶ: ನಮ್ಮದೇ ಅನುಭವಗಳನ್ನು ನೆನಪು ಮಾಡಿಕೊಂಡರೆ ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುವುದು. ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುವುದರ ಮೂಲಕ ನಮ್ಮ ಗಣಿತಾನುಭವ ಆರಂಭವಾದದ್ದು. ಅದಕ್ಕೂ ಮುಂಚೆ ನಮ್ಮರಿವಿಲ್ಲದೆ ಪರಿಮಾಣಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸುವುದರ ಮೂಲಕ ಆರಂಭವಾಗಿದೆ. ಆನಂತರ ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೂಲಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಕಲಿತೆವು. ಆ ಘಟ್ಟದಲ್ಲಿ ನಮಗೆ ಗಣಿತ ಅಂದರೆ ಅಷ್ಟೇ ಅನ್ನಿಸಿತ್ತು. ಸ್ವಲ್ಪ ಬೆಳೆದಂತೆ ನಮ್ಮ ಕೆಲವು ದೈನಂದಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅವ್ಯಕ್ತ ಪದಗಳಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗೊಳಿಸಲು ಆರಂಭಿಸಿದಾಗ ಅದು ಬೀಜಗಣಿತದ ಕಲ್ಪನೆಗೆ ನಾಂದಿ ಆಯಿತು. ಇದರ ಜೊತೆ ಜೊತೆಗೆ, ನಮ್ಮಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಸಹಜಜ್ಞಾನವೂ ಸಹ ಇತ್ತು. ಆದರೆ ಆ ಜ್ಞಾನಕ್ಕೆ ಯಾವೊಂದು ಸ್ಪಷ್ಟ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ರೂಪವಿರಲಿಲ್ಲ. ಅದು ಒಂದು ರೂಪಕ್ಕೆ ಬಂದಾಗ ಗಣಿತವೆಂದರೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ವ್ಯೋಮ (Space) ದ ಅಧ್ಯಯನ ಶಾಸ್ತ್ರವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಯಿತು.

     ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಮೂಲ ವ್ಯಾವಹಾರಿಕ ಅವಶ್ಯಕತೆ ಎನ್ನುವುದೇನೋ ನಿಜ. ಆದರೆ, ಈ ಶಾಸ್ತ್ರ ಬೆಳೆದಂತೆ ತಕ್ಷಣದ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯ ಮಿತಿಯನ್ನು ಮೀರಿ ಒಂದು ಅಮೂರ್ತರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯಿತು.

     ಭಾರತದಲ್ಲಿ ಉಪನಿಷತ್ತು ಮತ್ತು ವೇದಗಳ ಕಾಲದಿಂದಲೂ ಮನುಷ್ಯ ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿ ಆಲೋಚಿಸಬಲ್ಲನೆಂದು ತಿಳಿದಿದೆ.  ಆದರೆ, ಪಾಶ್ಚಿಮಾತ್ಯ ದಾಖಲೆಗಳಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಕರ ಕಾಲದ್ದೆಂದು ನಮೂದಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಏಷ್ಯಾ ಅದರಲ್ಲೂ ಭಾರತ ಮೂಲದ ಯಾವುದೇ ಜ್ಞಾನ ಯಾವಾಗಲೂ ಪಾಶ್ಚಿಮಾತ್ಯ ಮೂಲದ್ದೆಂದು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಿ ದಾಖಲಿಸುವ ಚಾಳಿ ಇದೆ.  ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಇತಿಹಾಸ ಓದಿದರೆ ಅದು ತಾನಾಗಿಯೇ ಗೋಚರಿಸುತ್ತದೆ. ಸದ್ಯ ಈ ವಿಷಯ ಬೇಡ.

     ಗಣಿತ ಅಂದರೆ, ಕೇವಲ ಕೆಲವು ಪದಗಳ ಅರ್ಥವ್ಯಾಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಆಧಾರಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ ಸ್ಥಿರಪಟ್ಟ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಅಥವಾ ತೀರ್ಮಾನಗಳ ಒಂದು ಸಂಕಲನವೆಂದಾಗಿದ್ದರೆ, ಪ್ರಾಯಶ: ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವು ಕೇವಲ ಅರ್ಥವ್ಯಾಖ್ಯೆಗಳು, ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ತರ್ಕವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದ ಒಂದು ಕ್ರೀಡೆಯಾಗುತ್ತಿತ್ತು ವಿನ: ಯಾವ ಬುದ್ದಿವಂತನೂ ಅದಕ್ಕೆ ಆಕರ್ಷಿತನಾಗುತ್ತಿರಲಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ಬೇಕಿರಲಿಲ್ಲ.

     ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಗಮನಿಸೊಣ :ಈ ಸೂತ್ರ ಮೊದಲ n ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ (natural numbers) ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕೊಡುತ್ತದೆ. ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಗಣಿತಾನುಮಾನದ ವಿಧಾನ (Mathematical Induction) ದಿಂದ ಸುಲಭವಾಗಿ ಸಿದ್ದಪಡಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ, ಅದಕ್ಕೆ ಮೊದಲು ಈ ಸೂತ್ರದ ಕಲ್ಪನೆ ಹೇಗೆ ಬಂತೆಂಬುದು ಎಲ್ಲೂ ಸೂಚಿತವಾಗಿಲ್ಲ.

     ಇದರಿಂದ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ರಚನಾತ್ಮಕ ಅಂಶ ಇರುವುದು ನಮಗೆ ತಿಳಿಯುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಆಧಾರ ಕಲ್ಪನೆ (Hypothesis) ಹೇಗೆ ಉತ್ಪತ್ತಿ ಆಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರವಿಲ್ಲ. ಇದರಲ್ಲಿಯೇ ಪ್ರಯೋಗ, ಸಾದೃಶ್ಯ (Anology) ಮತ್ತು ರಚನಾತ್ಮಕ ಅಂತ:ಪ್ರೇರಣೆ (Intuition) ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದು. ಇದಕ್ಕೆ ಬೇಕಾದಷ್ಟು ಉದಾಹರಣೆಗಳಿವೆ. ಶ್ರೀನಿವಾಸ ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರು ಪ್ರಚುರಪಡಿಸಿದ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನವುಗಳನ್ನು ಅವರೇನೂ ಸಿದ್ಧ ಪಡಿಸಲಿಲ್ಲ. (ಆ ಕೆಲಸ ಈಗ ನಡೆಯುತ್ತಿದೆ).  ಅವುಗಳೆಲ್ಲ ಅವರ ಕುಲದೇವತೆಯಾದ ನಾಮಗಿರಿದೇವತೆಯ ಪ್ರೇರಣೆ ಎಂದು ಅವರೇ ಹೇಳಿದ್ದಾರೆ. ಅಂದರೆ ಅವೆಲ್ಲಕ್ಕೂ ಅವರ ಅಂತ:ಪ್ರೇರಣೆಯೇ ಕಾರಣವೆಂದು ನಾವು ತರ್ಕಿಸಬಹುದು.

      ಒಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ಪಂಡಿತ ಪಾಮರರಿಬ್ಬರಿಗೂ ನಮ್ಮ ಮೂಲ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ ಯಾವ ಉತ್ತರವೂ ಸಿಗಲಾರದು. ಕೇವಲ ಗಣಿತದ ಅನುಭವ ಮಾತ್ರ ಆ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರವಾಗಬಹುದು. ಅದೊಂದೇ ಮಾರ್ಗೋಪಾಯ.  ಹಾಗಾದರೆ ನಮಗೆ ಈ ಮಾರ್ಗದಿಂದ ಉತ್ತರ ಸಿಗುವುದೆಂದಾಯಿತು, ಅಲ್ಲವೆ ?

       “Mathematics is the Mother of all sciences.”.  - ತಾಯಿ ಹೆಂಗಸು. ಇತ್ತೀಚೆಗೆ ಅಂತರ್ಜಾಲದಲ್ಲಿ ಯಾರೊ ಒಬ್ಬರು ಒಂದು ಉದ್ಗಾರವೆತ್ತಿದ್ದಾರೆ. “At last a book to understand an woman” . ಆ ಪುಸ್ತಕದ ಒಂದು ಚಿತ್ರವನ್ನೂ ಕೊಟ್ಟಿದ್ದಾರೆ. ಆದರೆ ಆ ಪುಸ್ತಕವನ್ನು ಒಂದು ಜೀವಮಾನದಲ್ಲಿ ಓದಿ ಮುಗಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

      ಗಣಿತಾಭ್ಯಾಸಿಗಳಿಗಷ್ಟೇ ಅಲ್ಲ, ಇತರರಿಗೂ ಸಹ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಕಾಣುವಷ್ಟು ವಿವಿಧರೂಪಗಳು ಬೇರಾವ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿಯೂ ಪ್ರಾಯಶಃ ಕಾಣಲಾರದು. ಹೊಸ ಹೊಸ ಆಲೋಚನೆಗಳನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತಾ ಎಲ್ಲೆಡೆಯಲ್ಲಿಯೂ ತಲುಪಿದಂತೆ ಕಂಡೂ ತಲುಪಲಾರದ ಗುರಿಯ ಕಡೆ ಸಾಗುತ್ತಾ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವು ಬೆಳೆದಿದೆ.

      ಗಣಿತದ ವಸ್ತುಗಳು (Mathematical objects)  ಭೌತಿಕ ಅಥವಾ ರಸಾಯನಿಕ ವಸ್ತುಗಳಂತೆ ಮೂರ್ತರೂಪ ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಅವು ಅಮೂರ್ತ ಸ್ವರೂಪದ್ದಾಗಿವೆ. ಈ ಅಮೂರ್ತತೆಗೆ ಅನಂತ ವಿಸ್ತಾರವಿದ್ದು ಅದರ ಆಲೋಚನೆಗಳೂ ಸಹ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದೆ ಕ್ರಮಿಸುತ್ತಾ ಇವೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಗಣಿತವೂ ಶಾಖೋಪಶಾಖೆಗಳಾಗಿ ಬೆಳೆದು ಹೆಮ್ಮರದಂತಿದೆ. ಮನುಷ್ಯನು ಕಲ್ಪನಾಲೋಕದಲ್ಲಿ ವಿಹರಿಸುವಾಗ ಮಿತಿ ಎಲ್ಲಿಯದು? ನೀಲಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಹೇಗೆಬೇಕಾದರೂ ಹಾರುವ ಪಕ್ಷಿಗಳ ಹಾಗೆ ಮತ್ತು ಕಾಡಿನಲ್ಲಿ ಕಲ್ಲು ಮುಳ್ಳುಗಳ ನಡುವೆ ಮನಬಂದಹಾಗೆ ಓಡಾಡಿ ಎಲ್ಲೆಲ್ಲೋ ಹರಿದುಹೋಗಿರುವ ಕಾಲುದಾರಿಗಳ ಹಾಗೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ ದಟ್ಟವಾಗಿ ಹರಡಿದೆ.

      ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸೌಂದರ್ಯ ರಸಾನುಭವವೂ ಇದೆ. ಸೌಂದರ್ಯ ಎಂದರೇನೆಂದು ಅರ್ಥ ವಿವರಣೆ ಕಷ್ಟವೇ. ಆದರೆ ಯಾವುದು ಅದರ ನೋಟ, ಅರ್ಥ ಅಥವಾ ಇನ್ನ್ಯಾವುದೇ ಗುಣದ ಅನುಭವದಿಂದ ಮನಸ್ಸಿಗೆ ಆಹ್ಲಾದವೆನಿಸುತ್ತದೋ ಅದು ಸುಂದರ ಎನಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಆರಂಭದಿಂದಲೂ ಗಣಿತಜ್ಞರಿಗೆ ಬಹಳ ಆಸಕ್ತಿ ಮೂಡಿಸಿದ ವಿಷಯ. ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ರಚನೆಯಲ್ಲಿನ ವಿನ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುವುದು ಒಂದು ಸುಂದರಾನುಭವ.

       ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಉದಾಹರಣೆ ಎಂದರೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ (Prime numbers) ಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಪಟ್ಟ ಫರ್ಮಾಟನ ೨-ವರ್ಗ ಪ್ರಮೇಯ (Fermat’s  2-square theorem).  ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಎರಡು ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು.

       ಮೊದಲನೆಯದು, ಸಂಖ್ಯೆ 4 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ 1 ಶೇಷ ಉಳಿಯುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು5, 13, 17, 29, 37, 41, . .

      ಎರಡನೆಯದು, ಸಂಖ್ಯೆ 4 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ 3 ಶೇಷ ಉಳಿಯುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.   3, 7, 11, 19, 23, 31, . . . . . . . . . . .

              ಇವುಗಳ ಪೈಕಿ, ಮೊದಲನೆಯ ಗುಂಪಿನ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು.

     5 = 1² + 2², 13 = 2² + 3², 17 = 1² + 4², 29 = 2² + 5², 37 = 1² + 6², 41 = 4² + 5².

        ಆದರೆ, ಎರಡನೆಯ ಗುಂಪಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇದೇ ಫರ್ಮಾಟನ ಪ್ರಮೇಯ.

        ಹಾಗೆ ನೋಡಿದರೆ, ಇಡೀ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತ(Theory of Numbers)ವೇ ಈ ರೀತಿಯ ಸುಂದರ ವಿನ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ತೆರೆದಿಡುತ್ತದೆ.

       ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಬೆಳವಣಿಗೆಯನ್ನು ನೊಡಿದಾಗ ಅದು ಕೇವಲ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಬೆಳೆದಿಲ್ಲವೆಂಬುದು ಗೋಚರವಾಗುತ್ತದೆ. ನನಗೆ ಅನ್ನಿಸುವುದು ತಂತ್ರಜ್ಞಾನ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂz ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುರಿಯಿಂದ ಬೆಳೆದದ್ದೂ ಇದೆ. ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಮನುಷ್ಯನ ಯೋಚನಾಲಹರಿ ಹುಚ್ಚೆದ್ದು ಯಾವುದೇ ವಾಸ್ತವಿಕ ಉದ್ದೇಶವಿಲ್ಲದೆ ಅಥವಾ ಕಂಡ ಕಂಡ ಕಡೆ ಕುಣಿಯುತ್ತಾ ಕೇವಲ ಕುತೂಹಲದ ಜಾಡು ಹಿಡಿದು ಹೋಗುವ ಹಾಗೆ ಬೆಳೆದುಬಂದಿದೆ. ಹೀಗೆ ಬೆಳೆಯುತ್ತಾ ಹೋದಾಗ ತಿಳಿದ ಗಣಿತ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ವಾಸ್ತವಿಕ ಪ್ರಯೋಜಕ್ಕೆ ಬಂದಿರಬಹುದು.

       ಗಣಿತಾಭ್ಯಾಸವು ಒಂದುರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಲಾಭದಾಯಕವಲ್ಲದಿದ್ದರೂ ಅಪಾಯಕಾರಿಯಲ್ಲದ ಮತ್ತು ನಿಷ್ಕಳಂಕ ಉದ್ಯೋಗ ಎಂದು ೨೦ನೇ ಶತಮಾನದ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಗಣಿತಜ್ಞ ಪ್ರೊಫೆಸರ್ ಡಾ. ಜಿ. ಎಚ್. ಹಾರ್ಡಿ ಯವರು ಬಣ್ಣಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಭಾಷೆ, ಕಲೆ, ಸಂಸ್ಕ್ರತಿ, ನಾಗರೀಕತೆ ಇವೆಲ್ಲವೂ ನಶಿಸಿಹೋಗಬಹುದು, ಆದರೆ ಗಣಿತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮಾತ್ರ ಶಾಶ್ವತ. ಗಣಿತಜ್ಞನು ಒಬ್ಬ ಚಿತ್ರಗಾರ ಅಥವಾ ಒಬ್ಬ ಕವಿಯಂತೆ ವಿನ್ಯಾಸಗಳ ರಚನಾಕಾರ. ಆದರೆ, ಗಣಿತಜ್ಞನ ವಿನ್ಯಾಸಗಳು ಉಳಿದವರ ವಿನ್ಯಾಸಗಳಿಗಿಂತ ಶಾಶ್ವತವಾದವು. ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ವಿನ್ಯಾಸಗಳು ಎಂದೂ ಅವರು ಹೇಳಿದ್ದಾರೆ.

       ಈ ವಿನ್ಯಾಸಗಳ ಬಗ್ಗೆ ವಿಮರ್ಶೆ ಮಾಡುವುದಕ್ಕೆ ಅವುಗಳ ಸೌಂದರ್ಯ ಮತ್ತು ವಿಚಾರಶೀಲತೆಗಳೇ ಮಾನದಂಡಗಳಾಗಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ’ಸೌಂದರ್ಯ’ದ ಬಗ್ಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದೆ. ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯ, ಸಿದ್ಧಾಂತ ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಗಣಿತಾಂಶವು ವಿಚಾರಶೀಲವಾಗಿದೆಯೆಂದರೆ ಹೊಸ ಹೊಸ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಪ್ರಮೇಯಗಳಿಗೆ ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ.

       ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು  ಅನಂತವೆಂಬ ಯುಕ್ಲಿಡನ ಪ್ರಮೇಯ ಇಡೀ ಅಂಕಗಣಿತದ ರಚನೆಗೆ ಬಹಳಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಏಕೆಂದರೆ, ಅಂಕಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಪಟ್ಟ ಅನೇಕ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಿಗೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳೇ ಮೂಲವಸ್ತುಗಳಾಗಿವೆ.

       ಅಂತೆಯೇ ಪೈಥಾಗೊರಾಸನ ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಭುಜದ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಅದರ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು, ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಮಾಣಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅದುವರೆಗೂ ಇದ್ದ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ಬುಡಮೇಲು ಮಾಡಿತು. ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಪರಿಮಾಣಗಳು ಸಮಮಾಪ್ಯ (commensurable) ಆಗಿವೆಯೆಂಬುದೇ ಬುಡಮೇಲಾದ ಸಿದ್ಧಾಂತ.

       ಇದನ್ನು ಅರ್ಥ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಮಮಾಪ್ಯತೆ ಎಂಬ ಕಲ್ಪನೆ ಏನೆಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಬೇಕು.

       a ಮತ್ತು  b ಎಂಬ ಎರಡು ಪರಿಮಾಣಗಳಲ್ಲ್ಲಿ a ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಎಷ್ಟು ಸಲ ಹಾಕಿದರೆ b ಪರಿಮಾಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗುವುದೆಂಬುದೇ ಪ್ರಶ್ನೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ 3 ನ್ನು 8 ಸಲ ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ ೨೪ ಆಗುವುದು. ಆಗ ನಾವು 24 = 8 x 3 ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಅದೇ ರೀತಿ, 4 = 2/3 x 6. ಇಲ್ಲಿ 2/3 ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲ. ಅದು ಒಂದು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ (Rational Number). ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ b ಯು ಇನ್ನೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆ a ಯ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಅಥವಾ ಭಿನ್ನರಾಶಿ (ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ) ಯ ಆವರ್ತವಾಗಿರಬಹುದು. ಆಗ ನಾವು  b = n x a ಅಥವಾ b/a = n  ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇಲ್ಲಿ  ಎಂಬುದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಅಥವಾ ಭಿನ್ನರಾಶಿ (ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ) ಆಗಿರಬಹುದು.

       ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದ ಎರಡೂ ಪ್ರಸಂಗಗಳಲ್ಲಿ a ಮತ್ತು  b ಗಳನ್ನು ಸಮಮಾಪ್ಯ (commensurable) ಪರಿಮಾಣಗಳೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.

       ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನ ಉದ್ದವನ್ನು 4’ ಎಂದಾಗ 1’ ಎಂದು ಕರೆಯುವ ಉದ್ದದ ಮತ್ತೊಂದುವಸ್ತುವಿನ ಉದ್ದವನ್ನು 4 ಸಲ ಆವರ್ತಿಸಿದರೆ ಮೊದಲಿನ ವಸ್ತುವಿನ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ 4’ = 4 x 1’ ಅಥವಾ ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನ ತೂಕ 3½ ಕೆ.ಜಿ. ಎಂದಾಗ 1 ಕೆ.ಜಿ. ಎಂದು ಕರೆಯುವ ತೂಕದ ಮತ್ತೊಂದು ವಸ್ತುವಿನ ತೂಕವನ್ನು 7 ಸಲ ಆವರ್ತಿಸಿದರೆ ಮೊದಲಿನ ವಸ್ತುವಿನ ತೂಕಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಇಲ್ಲಿ 3½ಕೆ.ಜಿ. = 7 x  ½ ಕೆ.ಜಿ. = 7/2 x  1 ಕೆ.ಜಿ.

       ವ್ಯಾವಹಾರಿಕವಾಗಿ ಅಳತೆ ಮಾಡಲು ಭಾಗಲಬ್ಧಸಂಖ್ಯೆಗಳು (ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು) ಸಾಕು.

       ಆದರೆ, ಕ್ರಿ. ಪೂ. ೪ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಪಂಥದ ಯುಡಾಕ್ಸಸ್ ಎಂಬ ಗ್ರೀಕ್ ಗಣಿತಜ್ಞನು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಮುಖಾಂತರ ಒಂದು ಆಶ್ಚರ್ಯಕರ ಸಂಗತಿಯನ್ನು ತಿಳಿಸಿದ. ಯಾವುದೇ ವೃತ್ತದ ಪರಿಧಿ (circumference) ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯಾಸ (diameter) ಗಳು ಸಮಮಾಪ್ಯವಲ್ಲವೆಂಬುದೆ ಈ ಹೊಸ ಸಂಗತಿ. ಅಷ್ಟೇ ಅಲ್ಲ, ಯಾವುದೇ ಚೌಕದ ವಿಕರ್ಣ ಮತ್ತು ಅದರ ಭುಜ ಇವು ಸಹ ಸಮಮಾಪ್ಯವಲ್ಲ. ಇಂತಹ ಪರಿಮಾಣಗಳನ್ನು ಅಸಮಮಾಪ್ಯ (Incommensurable ) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ

        ಈ ಶೋಧನೆಗೆ ಯುಡಾಕ್ಸಸ್‌ನ ಅಸಮಮಾಪ್ಯ ಪರಿಮಾಣಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವೆಂದು ಕರೆಯುವುದುಂಟು.

        ಯಾವುದೇ ಚೌಕದ ವಿಕರ್ಣದ ಉದ್ದವನ್ನು ನಿಖರವಾದ ಪರಿಮಾಣದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗದೆಂಬ ಸತ್ಯಾಂಶ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ (Irrational numbers) ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗೆ ದಾರಿಯಾಯಿತು. ಇದು ಗಣಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕ್ರಾಂತಿಯನ್ನೇ ತಂದಿತು.

       ಇದರಿಂದ ಯುಕ್ಲಿಡ್ ಮತ್ತು ಪೈಥಾಗೋರಾಸನ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ವಿಚಾರಶೀಲತೆ ತಿಳಿಯುತ್ತದೆ. ಇವು ಗಣಿತಜ್ಞನಿಗೆ ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ. ಇದಕ್ಕೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾದ ಕೆಳಕಂಡ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸೋಣ.

(i)            8712 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಇದರಲ್ಲಿನ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ವಿರುದ್ಧ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಬರೆದರೆ 2178 ಆಗುವುದು. 8712 = 4 x  2178. ಹಾಗೆಯೇ 9801 = 9 x 1089.

1೦೦೦೦ ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದು, ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ವಿರುದ್ಧ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಬರೆದಾಗ ಬಂದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಒಂದು ಪುರ್ಣಾಂಕ ಅಪವರ್ತ್ಯವಾಗುವ ನಾಲ್ಕು ಅಂಕಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಕೇವಲ 8712 ಮತ್ತು 9801.    

    (ii)       1 ನ್ನು ಬಿಟ್ಟರೆ, ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಅದರ ಅಂಕಿಗಳ ಘನ (cubes) ಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗುವಂತಹವುಗಳು ನಾಲ್ಕು ಮಾತ್ರ.. ಅವುಗಳು  153 = 1³ + 5³ + 3³,

370 = 3³ + 7³ +0³, 371 = 3³ + 7³ +1³, 407 = 4³ + 0³ +7³.

       ಈ ಮೇಲಿನ ಗಣಿತಾಂಶಗಳು ಸ್ವಲ್ಪ ಖುಷಿ ಕೊಡುವ ವಿನೋದ ಗಣಿತ ಆಗಬಲ್ಲವೇ ವಿನಃ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಗಂಭೀರವಾದ ಯಾವುದೇ ವಿಚಾರಶೀಲತೆ ಇಲ್ಲ.

       ಇನ್ನು ಗಣಿತದ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯ ವಿಚಾರ. ವ್ಯಾವಹಾರಿಕ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳಿಗಾಗಿ ಬಳಸುವ ಮೂಲ ಅಂಕಗಣಿತ ಹಾಗೂ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯಗಳು, ರಚನಾಕ್ರಮಗಳು, ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿನ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ, ತಂತ್ರಜ್ಞಾನ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಬಂದ ಗಣಿತ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಮತ್ತು ವಿಧಾನಗಳು - ಇವಿಷ್ಟೇ ಪ್ರತ್ಯಕ್ಷವಾಗಿ ಉಪಯುಕ್ತ ವೆನಿಸಿ ಕೊಳ್ಳುವಂತಹುಗಳು. ಉಳಿದಂತೆ ಗಣಿತಾಭ್ಯಾಸಿಗಳ ಆಲೋಚನಾಕ್ರಮವನ್ನು ಚುರುಕುಗೊಳಿಸಿ ನೂತನ ಆಯಾಮಗಳ ಕಲ್ಪನೆಗೆ ಪ್ರಚೋದನೆ ಕೊಡುವಂತಹುಗಳು. ಇವುಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ ಕೆಲವು ಇತರೆ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಗೆಹರಿಸಲು ಅನೇಕ ಸಲ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿವೆ. ಆದರೆ ಅವುಗಳು ಆಕಸ್ಮಿಕ. ಆದರೆ ಈ ರೀತಿಯ ಉಪಯುಕ್ತತೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞನ ಗುರಿಯಲ್ಲ.

       ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಇನ್ನೊಂದು ವಿಷಯ. ವ್ಯಾವಹಾರಿಕವಾಗಿ ಗಣಿತ ಉಪಯೋಗವಾಗುವುದು ಅಳತೆ ಮತ್ತು ಪರಿಮಾಣಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ. ಭೌತಿಕ ಪರಿಮಾಣದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ನಿಖರವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಕೇವಲ ಅಂದಾಜು (approximate) ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಯಾವುದೇ ನಿಯಮ, ಪ್ರಮೇಯ ಅಥವಾ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ನಿಖರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. 

       ಒಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ಗಣಿತವು ತರ್ಕ ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಅಂತಃಪ್ರೇರಣೆಯಿಂದ ರೊಮಾಂಚನವನ್ನುಂಟುಮಾಡುವ ನಿರಂತರ ಬೆಳೆಯುವ ಹಾಗೂ ಬೆಳಗುವ ಆಲೋಚನಾಕ್ರಮದ ಒಂದು ಸುಂದರ ಅನುಭವ. ಏನೇ ಆಗಲಿ, ಈ ಲೇಖನದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಹೇಳಿದಂತೆ ’ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವೆಂದರೇನು ?’ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಯಾವ ತಾತ್ವಿಕ ಅಥವಾ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವಿವರಣೆಯೂ ಉತ್ತರ ನೀಡದು. ಕೇವಲ ಗಣಿತಾಭ್ಯಾಸಿಗಳ ಅನುಭವ ಮಾತ್ರ ಉತ್ತರ ನೀಡಲು ಸಾಧ್ಯ.

**************